La Cinta de Moebius y la Botella de Klein

La Cinta de Moebius

 La Banda (o Cinta) de Moebius es una superficie con una sola cara y un solo borde. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta de forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.  La banda de Möbius tiene las siguientes propiedades:

•  Sólo posee una cara: Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la «aparentemente» cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta, por tanto, sólo tiene una cara y no tiene sentido hablar de cara interior y cara exterior.
• Tiene sólo un borde: Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, apreciando que se alcanza el punto de partida tras haber recorrido la totalidad del borde.
• Una persona que se deslizara «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al recorrer una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda.



Cinta de Moebius creada con una tira de papel girando media vuelta uno de los extremos

•  Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, se obtienen dos resultados diferentes, según dónde se efectúe el corte:

1. Si el corte se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, se obtiene una banda más larga pero con dos vueltas, sucesivamente.
2. Si el corte no se realiza en la mitad exacta del ancho de la cinta, sino a cualquier otra distancia fija del borde, se obtienen dos cintas entrelazadas diferentes: una de idéntica longitud a la original y otra con el doble de longitud.

Johan Sebastian Bach compuso un canon cuya partitura, al ejecutarse, guarda semejanza con la forma de una Banda de Möbius. 

 La Botella de Klein Una botella de Klein es una superficie no orientable cerrada que no tiene ni interior ni exterior. A diferencia de la Banda de Moebius, no tiene borde; una esfera sí tiene borde, pero es orientable. Fue concebida por el matemático alemán Christian Felix Klein, de donde deriva el nombre.Se puede obtener una representación tridimensional de una Botella de Klein introduciendo el extremo delgado de una botella o de un matraz a través de uno de los lados del recipiente y uniéndolo a la base. Hay que recalcar que dicha representación no es una Botella de Klein. Físicamente puede ser realizada sólo en un espacio de cuatro dimensiones, puesto que debe pasar a través de sí misma sin la presencia de un agujero.

Botellas de Klein